Простейшая модель оптимизации портфеля

инвестиция цена

Допустим, что у нас имеется две возможности инвестирования. Первая — в безрисковый актив с доходностью . Это означает, что, инвестируя в этот актив, вне зависимости от случая мы всегда будем иметь прибыль, равную . Вторая возможность инвестирования представляется некоторой акцией (или портфелем акций), доходность по которой является случайной величиной с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Рискованность этого актива предполагается условием, что .

Портфель, состоящий из безрискового и рискового актива, однозначно будет определяться долей t капитала, инвестируемой в рисковый актив. Понятно, что оставшаяся часть капитала будет вложена в безрисковый актив. Введем ограничения на открытие коротких позиций по активам, предполагая, что . Таким образом, любое число t из отрезка определяет портфель инвестиций в безрисковый и рисковый активы. Для каждого такого портфеля его доходность определяется по формуле:

Тогда ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение по каждому портфелю равны, соответственно,

и

Каждая из этих функций является линейной функцией от . Перед каждым инвестором стоит выбор оптимального портфеля по каким-то собственным критериям. Будем предполагать, что каждый инвестор интересуется только риском и доходностью портфеля, оценивая риск при этом средним квадратическим отклонением , Оптимальный портфель будет определяться каким-то конкретным значением .

Рассмотрим несколько различных вариантов оптимизационных задач, которые могут возникнуть перед инвестором.

1. Максимум ожидаемой доходности. Предположим вначале, что инвестор не интересуется риском и оптимизирует портфель, стараясь получить максимум ожидаемой доходности. Тогда формально его задача имеет следующий вид:

.

Решение этой задачи зависит от знака линейного коэффициента . В зависимости от него имеется три возможных случая изменения ожидаемой доходности как функции от пара метра . представлены на. В первом случае, когда , функция возрастает и достигает своего максимума при . Это означает, что оптимальным в этом случае является портфель, когда все вкладывается в рисковый актив. Если же, наоборот, , то функция убывает, и оптимальный портфель состоит из инвестиций только в безрисковый актив. Наконец, в третьем случае, когда , функция является постоянной и любой портфель может быть оптимальным.

Следует заметить, что второй и третий случаи являются очевидными с точки зрения инвестора. Действительно, если ожидаемая доходность по рисковому активу не превосходит доходность по безрисковому активу: , то в любом случае инвестор предпочтет безрисковый актив рисковому и полностью вложит весь капитал в безрисковый актив: . Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только первый случай, когда . В этом случае предпочтение безрисковому активу не является очевидным.

Сатьи по теме:

Анализ исполнения бюджета по доходам Жигулевского филиала ФСС РФ за 2006 - 2008 гг.
Для более глубоко изучения деятельности филиала, а так же выявления источников дохода необходимо провести анализ исполнения бюджета по доходам и расходам. Доходы исследуемого Жигулевского филиала ФСС РФ складываются из следующих источников: налоги и взносы на социальные нужды; налоги на совокупный ...

Методические подходы к оценке ущерба от стихийных бедствий и чрезвычайных ситуаций в АПК России
Последствия чрезвычайных ситуаций представляют собой прямые потери отрасли в результате воздействия опасных природных явлений на сельхозпроизводство. В отрасли растениеводства это будут площади гибели посевов сельскохозяйственных культур, многолетних насаждений, естественных кормовых угодий; в жив ...

Структура и характеристика КБ Приватбанк
Структура банка построена по принципу, в котором четко разделяются зарабатывающие и поддерживающие направления. Такое деление позволяет использовать современные методы справедливого определения результатов деятельности подразделений и, соответственно, значительно повысить эффективность работы банк ...