Простейшая модель оптимизации портфеля

2. Задача Марковица. Наиболее часто встречаемая задача оптимизации портфеля была впервые описана Г. Марковичем и имеет следующую постановку. Допустим, что задан некоторый уровень доходности , ниже которого инвестор не хотел бы иметь ожидаемую доходность. Тогда оптимальный портфель выбирается среди всех возможных так, чтобы риск инвестиций, определяемый дисперсией доходности портфеля, был минимальным. В нашем простейшем случае задача Марковица может быть формализована следующим образом:

Рис. 4. Иллюстрация к задаче Марковица

Естественно предположить, что , иначе задача либо не имеет решения, либо становится тривиальной. Так как - возрастающая функция на отрезке [0, 1], ее минимум достигается в минимально возможном значении , определяемым условием . В силу того, что также возрастает на [0, 1], минимальное возможное значение определяется уравнением (см. рис. 4.). Таким образом, имеет место равенство

из которого находим значение :

Соответственно,

Таким образом, оптимальный портфель в задаче Марковица в простейшем случае безрискового и рискового активов определяется следующей парой:

Нетрудно убедиться, что ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение по оптимальному портфелю в этом случае находятся по формулам:

3. Соотношение «риск—доходность». Предпочтение инвестора определяется минимизацией некоторой функции, связывающей риск и доходность каждого портфеля. Пусть, как и прежде, . Введем функцию рискованности следующим образом:

Здесь коэффициент q > 0 определяет предпочтение доходности перед риском для каждого инвестора. Если инвестор в большей степени предпочитает определять свои вложения доходностью, чем риском, то он выбирает коэффициент с большим значением. Если же для инвестора более важным является риск, то он выберет коэффициент q маленьким.

В итоге задача оптимизации портфеля в этом случае имеет следующий формальный вид:

Как видно, функция является квадратным трехчленом с положительным старшим коэффициентом. Поэтому график этой функции представляет параболу, ветви которой направлены вверх. Значит, функция имеет глобальный минимум, определяемый вершиной параболы. Координата вершины параболы равна

(15)

Так как , координата . Рассмотрим два различных варианта выбора оптимального портфеля. Первый вариант возникает в ситуации, когда . Так как в этом случае функция убывает на всем отрезке [0, 1], ее минимум на отрезке [0, 1] достигается в точке . Нетрудно заметить, что неравенство эквивалентно условию

Это удобно переписать в следующем виде:

(16)

Если это неравенство не выполнено и имеет место следующее соотношение:

то и минимум функции на отрезке [0, 1] достигается в точке . Тогда оптимальный портфель выбирается по второму варианту и равен . В силу формулы (15) нетрудно получить его окончательный вид:

Сатьи по теме:

Этапы развития ипотечного кредитования
Ипотека как элемент хозяйственной жизни уходит глубокими корнями в историю. Само понятие «ипотека» пришло в мировую финансово-экономическую систему из древней Греции. Его ввел архонт Солон в VI веке до н. э., предшественник солона – Драконт – ввел порядок (в 621 г. До н. э.), согласно которому люб ...

Налогообложение факторинговых операций
В связи с ростом конкуренции на товарных рынках и рынках услуг многие поставщики вынуждены предоставлять отсрочку или рассрочку платежа своим клиентам, выступая тем самым в качестве кредитора и принимая на себя кредитные, валютные и процентные риски. Это приводит к отвлечению оборотных средств пос ...

Лизинговые платежи
Под лизинговыми платежами понимается общая сумма арендных платежей по договору лизинга за весь срок действия договора, в которую входят[15]: · возмещение затрат лизингодателя, связанных с приобретением и передачей предмета лизинга, а также с оказанием других предусмотренных договором лизинга услу ...