2. Задача Марковица. Наиболее часто встречаемая задача оптимизации портфеля была впервые описана Г. Марковичем и имеет следующую постановку. Допустим, что задан некоторый уровень доходности , ниже которого инвестор не хотел бы иметь ожидаемую доходность. Тогда оптимальный портфель выбирается среди всех возможных так, чтобы риск инвестиций, определяемый дисперсией доходности портфеля, был минимальным. В нашем простейшем случае задача Марковица может быть формализована следующим образом:
Рис. 4. Иллюстрация к задаче Марковица
Естественно предположить, что , иначе задача либо не имеет решения, либо становится тривиальной. Так как
- возрастающая функция на отрезке [0, 1], ее минимум достигается в минимально возможном значении
, определяемым условием
. В силу того, что
также возрастает на [0, 1], минимальное возможное значение
определяется уравнением
(см. рис. 4.). Таким образом, имеет место равенство
из которого находим значение :
Соответственно,
Таким образом, оптимальный портфель в задаче Марковица в простейшем случае безрискового и рискового активов определяется следующей парой:
Нетрудно убедиться, что ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение по оптимальному портфелю в этом случае находятся по формулам:
3. Соотношение «риск—доходность». Предпочтение инвестора определяется минимизацией некоторой функции, связывающей риск и доходность каждого портфеля. Пусть, как и прежде, . Введем функцию рискованности следующим образом:
Здесь коэффициент q > 0 определяет предпочтение доходности перед риском для каждого инвестора. Если инвестор в большей степени предпочитает определять свои вложения доходностью, чем риском, то он выбирает коэффициент с большим значением. Если же для инвестора более важным является риск, то он выберет коэффициент q маленьким.
В итоге задача оптимизации портфеля в этом случае имеет следующий формальный вид:
Как видно, функция является квадратным трехчленом с положительным старшим коэффициентом. Поэтому график этой функции представляет параболу, ветви которой направлены вверх. Значит, функция имеет глобальный минимум, определяемый вершиной параболы. Координата
вершины параболы равна
(15)
Так как , координата
. Рассмотрим два различных варианта выбора оптимального портфеля. Первый вариант возникает в ситуации, когда
. Так как в этом случае функция
убывает на всем отрезке [0, 1], ее минимум на отрезке [0, 1] достигается в точке
. Нетрудно заметить, что неравенство
эквивалентно условию
Это удобно переписать в следующем виде:
(16)
Если это неравенство не выполнено и имеет место следующее соотношение:
то и минимум функции
на отрезке [0, 1] достигается в точке
. Тогда оптимальный портфель выбирается по второму варианту и равен
. В силу формулы (15) нетрудно получить его окончательный вид:
Сатьи по теме:
Первичные бухгалтерские документы уставного капитала
Первичные документы по формированию уставного капитала[14] (включая платежные документы, решения, касающиеся изменения размера уставного капитала и другие) при увеличении его размера и создании банка должны храниться банком в отдельной папке, с присвоением папке отдельного номенклатурного номера и ...
Акции и облигации
Акцией признается ценная бумага, удостоверяющая право ее владельца (акционера) на получение части прибыли акционерного общества в виде дивидендов, на участие в управлении делами акционерного общества и на часть имущества, оставшегося после ликвидации. Выпуск и обращение акций регламентируются Граж ...
Зарубежный рынок факторинга
По итогам 2011 года российский рынок факторинга вышел на второе место в мире по темпам роста
Согласно последним данным FCI объем мирового рынка факторинга в 2011 году увеличился на 22% по сравнению с 2010 годом. Оборот рынка в прошлом году составил более 2 триллионов Евро или 2,6 триллионов долла ...