Простейшая модель оптимизации портфеля

2. Задача Марковица. Наиболее часто встречаемая задача оптимизации портфеля была впервые описана Г. Марковичем и имеет следующую постановку. Допустим, что задан некоторый уровень доходности , ниже которого инвестор не хотел бы иметь ожидаемую доходность. Тогда оптимальный портфель выбирается среди всех возможных так, чтобы риск инвестиций, определяемый дисперсией доходности портфеля, был минимальным. В нашем простейшем случае задача Марковица может быть формализована следующим образом:

Рис. 4. Иллюстрация к задаче Марковица

Естественно предположить, что , иначе задача либо не имеет решения, либо становится тривиальной. Так как - возрастающая функция на отрезке [0, 1], ее минимум достигается в минимально возможном значении , определяемым условием . В силу того, что также возрастает на [0, 1], минимальное возможное значение определяется уравнением (см. рис. 4.). Таким образом, имеет место равенство

из которого находим значение :

Соответственно,

Таким образом, оптимальный портфель в задаче Марковица в простейшем случае безрискового и рискового активов определяется следующей парой:

Нетрудно убедиться, что ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение по оптимальному портфелю в этом случае находятся по формулам:

3. Соотношение «риск—доходность». Предпочтение инвестора определяется минимизацией некоторой функции, связывающей риск и доходность каждого портфеля. Пусть, как и прежде, . Введем функцию рискованности следующим образом:

Здесь коэффициент q > 0 определяет предпочтение доходности перед риском для каждого инвестора. Если инвестор в большей степени предпочитает определять свои вложения доходностью, чем риском, то он выбирает коэффициент с большим значением. Если же для инвестора более важным является риск, то он выберет коэффициент q маленьким.

В итоге задача оптимизации портфеля в этом случае имеет следующий формальный вид:

Как видно, функция является квадратным трехчленом с положительным старшим коэффициентом. Поэтому график этой функции представляет параболу, ветви которой направлены вверх. Значит, функция имеет глобальный минимум, определяемый вершиной параболы. Координата вершины параболы равна

(15)

Так как , координата . Рассмотрим два различных варианта выбора оптимального портфеля. Первый вариант возникает в ситуации, когда . Так как в этом случае функция убывает на всем отрезке [0, 1], ее минимум на отрезке [0, 1] достигается в точке . Нетрудно заметить, что неравенство эквивалентно условию

Это удобно переписать в следующем виде:

(16)

Если это неравенство не выполнено и имеет место следующее соотношение:

то и минимум функции на отрезке [0, 1] достигается в точке . Тогда оптимальный портфель выбирается по второму варианту и равен . В силу формулы (15) нетрудно получить его окончательный вид:

Сатьи по теме:

Структура и характеристика КБ Приватбанк
Структура банка построена по принципу, в котором четко разделяются зарабатывающие и поддерживающие направления. Такое деление позволяет использовать современные методы справедливого определения результатов деятельности подразделений и, соответственно, значительно повысить эффективность работы банк ...

Основные направления развития Банка Развития Казахстана
банк развитие кредитный финансовый Участие в МБО ШОС имеет очень важное для БРК значение, т.к. именно взаимовыгодные межрегиональные инвестиционные проекты дают долгосрочную основу для таких отношений. В Министерстве индустрии и торговли РК состоялось совещание с участием представителей ФНБ «Сам ...

Методы оценки кредитоспособности предприятий используемые российскими банками
Методика кредитного анализа инвестиционного проекта. Данная методика (принятая почти во всех коммерческих банках России, занимающихся кредитованием предприятий и организаций) оценки целесообразности предоставления банковского кредита, разработана для определения банками платежеспособности предпри ...